Para introducirse en la concepción de la noción de continuidad es más sencillo pasar por el significado de su opuesto lógico: la falta de continuidad.
Un primer acercamiento a la idea podría ser : “Los puntos x próximos al punto a no tienen una aplicación f(x) próxima a f(a)”.
Sin embargo, esta expresión carece de sentido porque la palabra “proximidad” es indefinida, y tiene en el lenguaje corriente un significado relativo al contexto de referencia. Lo que puede ser próximo en un caso, puede no serlo en otro.
La noción de distancia con la consiguiente definición de entorno es la que permite dotar de rigor a las definiciones buscadas.
Se puede decir con precisión entonces para una función:
f : D → R
X 7→ Y =f(X)
donde D y R son subconjuntos de los espacios métricos E y E′, si dado un entorno de
f(a), U(f(a)), no puede encontrarse ningún entorno de a, U(a), de modo tal que todos los elementos de U(a) ∩ D, tengan aplicación en U(f(a)), entonces la función f es discontinua en a.
Simbólicamente:
f /∈ C/a := ∃ U(f(a)), ∄ U(a) : ∀ x ∈ U(a) ∩ D =⇒ f(X) ∈ U(f(a))
f /∈ C/a := La función f no es continua en a
El opuesto lógico de esta definición nos asegura que no hay “salto”, es decir que la función es continua.
La definición es válida para cualquier función f entre dos espacios métricos o subconjuntos de dichos espacios métricos. Se incluye como caso particular, por supuesto, a los casos de funciones reales de una o varias variables y a las funciones complejas.
f : D → R :
D ⊂ E
R ⊂ E′
X 7→ f(X)
f ∈ C/a := ∀ U(f(a)) , ∃ U(a) : ∀ X ∈ U(a) ∩ D ⇒ f(X) ∈ U(f(a))
lunes, 24 de mayo de 2010
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